2017年的国际数学奥林匹克竞赛已经结束，中国队取得了优异的成绩。今年第58届国际数学奥林匹克竞赛于2017年7月12日～23日在巴西里约热内卢举办。现在小编给大家汇总了2016年国际数学奥林匹克竞赛试题，有想来试试挑战的学霸吗？如果你想挑战自主招生，那么参加奥林匹克竞赛是很有益处的。
 

　　2016年第57届国际数学奥林匹克竞赛，美国队成绩214，6金，获得团体;韩国队成绩204，4金2银，获得团体第二名;中国队成绩204，4金2银，获得团体奖第三名。

　　第整天试题

　　Problem1

　　在直角三角形BCF中，点A在直线CF上且FA=FB，并且F在A,C之间，点D使得DA=DC并且AC是∠BAD的角平分线，点E使得EA=ED且AD是∠EAC的角平分线， M是FC中点，X使得AMXE是平行四边形，证明：ME,FX,BD三线共点。

　　Problem2

　　求的正整数n使得能够将一个 n×n 方形表格填满 I,M,O三个字母，并且满足如下条件：

　　◆每行、每列恰好有：三分之一的I,三分之一的M,三分之一的O。

　　◆i若某条对角线上的方格数是3的倍数，则这条对角线上也恰好有三分之一的I,三分之一的M,三分之一的O。

　　Note:将第i行第j列的表格记为(i，j)，这里的“对角线”一共有两类4n-2条，第一类每条对角线指使得i+j为常数的小方格(i，j)的集合，第二类是指使得i-j为常数的小方格(i,j)的集合。

　　#p#副标题#e#Problem3
 

　　有P=A1 A2 …Ak 是一个平面直角坐标系中的凸多边形，已知P内接于圆且 A1 A2 …Ak 纵横坐标均为整数.P的面积为S，正奇数n满足P每条边长度的平方均被n整除，证明：2S是一个被n整除的整数。

　　Problem4

　　一个由正整数构成的集合称为"芳香集" ，若它至少有两个元素，且其中每个元素都与其他元素中的至少一个元素有公共的素因子，设P(n)=n^2+n+1，问 正整数b较小为何值时能够存在一个非负整数a使得集合

　　{P(a+1),P(a+2)……P(a+b)}

　　是一个"芳香集"

　　Problem5

　　黑板上写有方程：

　　(x-1)(x-2)…(x-2016)=(x-1)(x-2)…(x-2016)

　　其中等号两边各有2016个一次因式，试问：正整数k较小为何值时，可以在等号两边擦去4032个一次因式中的恰好k个，使得等号每一边都至少留下一个一次因式，且所得到的方程没有实数根?

　　Problem6

　　在平面上有n≥2条线段，其中任意两条线段都交叉，且没有第三条线段相交于同一点，Geoff在每条线段上选取一个端点并放置一只青蛙在此端点上，青蛙面向另一个端点，接着Geoff会拍n-1次手，每当他拍一次手，每只青蛙都立即跳到它所在的线段的下一个交点，每只青蛙均不会改变跳跃的方向，Geoff的愿望是能够适当地放置青蛙，使得在时候都不会有两只青蛙落在同一个交点上：

　　(a)证明：若n是奇数，则Geoff总能实现他的愿望。

　　(b)证明：若n是偶数，则Geoff不可能实现他的愿望